Все новости от 23 апреля 2003 г.

Алгоритмы, фракталы, гармония

В далекие уже 60-е, когда слова компьютер еще не было в обиходе, а новомодные ЭВМ скромно крепили мощь нашей великой державы, открыто дебатировался вопрос о методах формализации творческих процессов.

Именно в те годы зарождалась отечественная математическая лингвистика, делались первые попытки машинного перевода иноязычных текстов, изучались стратегии шахматной игры, предпринимались казавшиеся нелепыми и провальными исследования закономерностей стихосложения и музыкальной гармонии.

Те споры и проблемы современному читателю вряд ли покажутся интригующими и важными, хотя и доныне не получены ответы на многие поставленные тогда вопросы.

Но: на глазах умнеющие лингвотрансляторы сегодня “помогают” переводчикам утратить квалификацию, шахматные программы бьются на равных с Каспаровым, однако “юзер”, закормленный эффектами машинной графики, так и не даст утвердительного ответа на извечный вопрос: поможет ли наука приоткрыть тайны искусства? Особенно творчества изобразительного, о котором и пойдет наш рассказ.

Все еще экзотическое понятие фрактал — а именно ему попытаемся мы отвести подобающее место в ряду искусств живописных — безусловно нуждается в некой трактовке. Математические объекты, точнее, структуры, объединяемые этим понятием, известны в науке уже почти полтора века, но общественный интерес к ним возник полтора десятка лет назад, и связан он с тем, что эти объекты стали “видимыми” — они визуализированы с помощью весьма мощных компьютеров.

Оказалось, что они не просто поражают разнообразием форм, но являют собой калейдоскоп, представляющий неиссякаемое число картин мира. Мира неземного, но обладающего внятной композиционной мерой в балансе Хаоса и Порядка — примерно так же, как это устроено в привычном для нашего глаза пространстве и как отображено предметной живописью.

Американский математик Бенуа Мандельброт, давший имя этим интересным не только для математиков объектам (от латинского слова fractus — дробный, изломанный), дал им и определение, объединив их в класс структур с общими свойствами. Свойств этих два: самоподобие и структурная неограниченность (второе на языке математики звучит малопонятно для непосвященных: “обладание размерностью по Хаусдорфу — Безиковичу выше топологической”).

Первое свойство следует понимать не в строгом смысле геометрического подобия (“одна фигура картины может быть полностью совмещена с ей подобной за счет сдвига, поворота и смены масштаба”) — им обладали те первые линейные фракталы, исследованные в конце XIX века (функция Вейерштрасса, к примеру), а в смысле обиходном, иначе выражаемом словами схожий, напоминающий.

Объект нашего интереса — фрактал нелинейный. Именно он претендует на роль, значимую эстетически, поэтому на его свойствах, процедуре генерации и “потенциях” остановимся подробнее, не покидая, однако, сфер компетенции гуманитария. Физик скорее всего будет разочарован нестрогостью последующих разъяснений, но этот год от года прочнеющий языковой барьер между наукой и гуманитарными ремеслами заклинанием не свалить, поэтому мы проследим лишь, чтобы популяризация не обернулась профанацией.

Далее нам понадобятся два важных в вычислительной технике понятия: алгоритм и итеративный процесс. Будет достаточно образного их понимания. Первое означает: метод получения нужного результата в точно описанных шагах достижения цели. Его описание не допускает двусмысленности, неоднозначности, оно “не по-человечески” строго. Второе понятие выделяет некоторый подкласс первого.

Фракталы порождаются итеративными алгоритмами — процедурами, в которых каждый последующий шаг копирует шаг предыдущий, и так — от шага первого до достижения цели. Именно поэтому описание фрактала через рецепт его получения оказывается столь компактным, столь ошеломляюще кратким в сравнении со сложностью обретенного результата. Отсюда и восхищение “эстетов” — а не получена ли наконец Формула Красоты? С красотою пока повременим, а свойство “неисчерпаемости” структуры фрактала (его еще можно назвать неограниченностью детальности) обсудим.

Превратимся на минутку в инженеров, проектирующих башню типа Шаболовской, но с обязательностью последовать второму свойству фракталов. Аналитическая геометрия дает метод получения этой нелинейной (неплоской) поверхности посредством “заметания пространства прямой линией, вращающейся вокруг оси, ей не параллельной”.

Инженеру в этом определении важно по-крайней мере то, что башню можно “склепать” из одних лишь прямолинейных балок (кривых не потребуется). Пусть балками первого уровня структуры будут трубы (“поверхность цилиндра образует прямая, вращающаяся параллельно оси”). Каждую такую трубу первого уровня представим “составленной” из маленьких трубочек уровня второго (т. е. динамический рецепт получения цилиндрической трубы заменяем статикой равномерно отстоящих друг от друга по кругу трубочек).

Умный читатель уже сообразил, что и как будет дальше. Трубочки второго уровня будем складывать из микротрубочек третьего, и так — до бесконечности. Фрактал просчитать, а стало быть, и увидеть полностью — дело столь же реализуемое, как и достижение абсолютной истины. Но наша башня — еще не аналог образа живописного, поскольку она — конструкция трехмерная, а нам надо получить картинку, т. е. плоское изображение. Аналогом будет произвольное сечение башни. И что же увидим мы на чертеже сечения? Овальную (возможны варианты — от круга до гиперболы) фигуру, составленную из маленьких эллипсов.

Вооружась лупой, мы обнаружим, что последние отнюдь не непрерывны, а образованы из микроэллипсов. Микроскопы оптический, а затем и электронный обеспечат нам “облет” все более глубоких уровней, но структура так и не “иссякнет”. Не должна — по определению. Исчерпаются наши визуальные средства перефокусировки. О структуре и самоподобии фракталов некое представление, будем считать, получили. Теперь о цвете во фрактальных картинах.

Идей оцвечивания — не одна. Чуть проще других статическая. Если структуру (а она может быть размерности выше трех, т. е. “не размещаема в реальном пространстве”, размерность же ее может даже оказаться нецелочисленной, что вообще непредставимо) вообразить снабженной электрическим зарядом, то “межструктурные пустоты” можно “выкрасить” в соответствии с задаваемым правилом приписывания цвета той или иной величине электростатического поля.

Обычно берут так называемую VGA-палитру в 256 градаций цвета и каждую такую “цветовую ступеньку” связывают с каким-то интервалом (а их тоже 256) всего диапазона изменений напряженности поля. Получается, что структура “тонка до неоцвеченности”, а изображенное является аппликацией участков однородной окраски. Сетка границ между участками — это либо та самая тонкая структура фрактала, либо — линии, отделяющие одну градацию “напряженности в пустоте” от другой. По манере это ближе всего к технике Билибина (самого знаменитого иллюстратора русских сказок).

В науке зрение роботов подобная аппликация зовется мондрианом, по имени голландского абстракциониста Пита Мондриана. Где компьютер по выбранному “дизайнером” итеративному алгоритму и заданным параметрам картины насчитает быстрое изменение напряженности поля, там цветовые участки расположатся тесно, и если палитра запрограммирована с плавной сменой цвета от ступеньки номера n к ступеньке n+1, то и на картине в этом месте появится плавное изменение по яркости, по тону либо насыщенности цвета.

Осталось пояснить, что соответствует выбору алгоритма, а что — заданию параметров. Используя “притчу о башне”, ориентируемся так: алгоритм — это рецепт строительства башни, избрание желанного из ряда альтернативных проектов, параметры же конкретизируют позицию сечения многомерной конструкции и уточняют саму манеру, в какой сечение должно быть на дисплее (либо принтером) изображено.

Теперь — о прискорбном факте последних лет существования с, казалось бы, навеки усвоенной Формулой Красоты. Волна грандиозного фрактального бума, прокатившись по миру (выставки, альбомы, конференции, тематические журналы), опала, оставив после себя на кухне компьютерной графики ряд приемов формирования (для 3D-игр и производства клипов, например) объектов природы — облаков, кустов, горных хребтов и т. п. Очередной раз вышло “как всегда”? Вот в этом месте и подобает автору выступить с отповедью унынию.

Напомним, что фракталы пришли в мир из недр математических, их открыватели и исследователи не были художниками и эстетических целей не преследовали. Об эстетике заговорили после шоковой реакцией зрителей-неспециалистов на первые экспозиции фрактальных образов — такого от математики просто не ожидали. Далее произошло неизбежное.

Ученые вручили сообществу художников алгоритмы, а их было тогда всего два (семейство из множеств Жюлиа — Мандельброта и схема Ньютона), но, во-первых, оное сообщество не владело техникой обращения с объектами такого рода (и это не самое страшное, техника — дело наживное, энтузиастов — легион), а во-вторых, приглядевшись к сотне обнародованных картин повнимательнее, профессионалы живописи увидели печальную особенность галереи новых форм: самоподобия было слишком много, а предъявленное вкупе не выходило за грань, отделяющую орнаментально-декоративную графику от искусства реалистического (и даже от хрестоматийных образцов абстрактного).

К 1995 г., уже после выхода в России перевода книги “Красота фракталов”, в популярной литературе добавилось описание алгоритма еще одного источника фрактальных форм — множества Ляпунова. Но и оно обладало настолько резкими аутографическими чертами, что заявить его “каноническим генератором графических сюжетов” было б столь резонно, сколь осмыслен совет компилировать картины нового жанра из набора в 10 000 кактусов разной формы и расцветки в разных их пространственных перекомбинациях. Что могло бы показаться перспективным разве что кактусологу (да еще нигилисту-концептуалисту).

Заключительную часть посвятим авторским комментариям/рекомендациям по выходу из сложившегося кризиса. Весьма продолжительный экспериментальный анализ базы в несколько сотен алгоритмов показал, что “жемчужин” среди них — единицы процентов. Избранная в итоге “великолепная пятерка” алгоритмов сочтена потенциально-емкой (приводимые здесь иллюстрации генерированы парой алгоритмов из этой пятерки).

И что несомненно, итог этот не окончательный, поскольку энтузиасты смогут выбрать из тысяч изобретенных ими новых алгоритмов десятки лучших, чем те, которые приворожили автора. Помимо обнадеживающего положения с “источниками” есть и предложения по методике работы с фрактальным сюжетом. Вкратце они таковы.

После того как алгоритм “художником-при-компьютере” выбран, создание шедевра целесообразно разбить на два этапа: эскизный и оптимизационный. На первом отбирается графический очерк будущей композиции, т. е. из проб ракурсов-сечений многомерной структуры делают ставку на тот, какой обеспечит композиционно оптимальные границы между “фоном” и “объектами” на нем. И цвет тут пока даже помешал бы. Поэтому палитру для фазы эскиза лучше выбирать одноцветную и обязательно монотонную (плавную в своих изменениях от ступеньки к ступеньке).

На втором этапе предметом забот становится цвет, причем не просто набор удачно сочетающихся тонов, а не имеющее рецепта-панацеи построение всех 256 градаций палитры с их уникальными (т. е. подходящими для данной композиции — и только) перепадами яркостей, насыщенностей и пр. Есть и иные технологические секреты, они составляют предмет авторского ноу-хау. Что же касается философского или гносеологического аспекта проблемы, вывод делаем такой.

Доказано: формулы гармонии фрактального образа — есть. Все они апостериорны. Когда “действительно прекрасный” сюжет создан, формула его генерации “раскрыта” (это три-четыре строчки кода против десятков миллионов цветных точек готовой картины). Но с ее помощью можно лишь тиражировать данный сюжет всюду, где имеется соответствующее программное и аппаратное обеспечение. Код опуса № 7 не поможет в создании опуса № 12. Автоматизировать процесс творчества, увы, на этот раз не удалось. Хотя и теорем, запрещающих такую эволюцию, тоже не доказано.